如图，椭圆，点在短轴上，且.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点，是否存...
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问题详情：
如图，椭圆
，点
在短轴
上，且
.
（1）求椭圆
的方程及离心率；
（2）设
为坐标原点，过点
的动直线与椭圆交于
两点，是否存在常数
，使得
为定值？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.
【回答】
（1）由已知可得，点
的坐标分别为
，
，
又点
的坐标为
，且
，即
，
解得
，所以椭圆
的方程为
.
因为
，所以离心率
.…………………………5分
（2）当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
，
的坐标分别为
，联立
得
，
其判别式
，所以，
，
，………………………………7分
从而
， ……………9分
所以，当
时，
，
即
为定值，…………11分
当直线
斜率不存在时，直线
即为直线
，
此时
，
故存在常数
，使得
为定值
.…………………12分
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
