已知椭圆过点，且离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点与点均在椭圆上，且关于原点对称，问：椭圆上是否存在...
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问题详情：
已知椭圆
过点
，且离心率为
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）若点
与点
均在椭圆
上，且
关于原点对称，问：椭圆上是否存在点
（点
在一象限），使得
为等边三角形？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【回答】
（1）
；（2）存在，
．
【解析】（1）根据已知条件，列出不等式组，求解
，即可求解椭圆的椭圆的方程；（2）设直线
的斜率为
，则直线
，代入椭圆的方程，解得
点的坐标，同理可得直线
的方程，代入求解所以
，即可求解点
的坐标．
试题解析：（1）由题意
，解得
，
所以椭圆
的标准方程为
．
（2）由题意知直线
经过坐标原点
，假设存在符合条件的点
，则直线
的斜率存在且大于零，
①
设直线
的斜率为
，则直线
，
联立方程组
，得
，
所以
②
同理可得直线
的方程为
③
将②③代入①式得
，
化简得
，所以
所以
，
综上所述，存在符合条件的点
考点：椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．
【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到椭圆的几何*质的应用、函数与方程思想等知识点的综合考查，着重考查了学生的推理与运算能力以及转化与化归思想的应用，此类问题的解答中把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，转化为方程的根与系数的关系、判别式和韦达定理的应用是解答的关键，试题运算量大，有一定的难度，属于难题．
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
