.已知椭圆的离心率为，且经过点.求椭圆的标准方程；设为椭圆的中线，点，过点的动直线交椭圆于另一点，直线上的点满...
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问题详情：
.已知椭圆
的离心率为
，且经过点
.
求椭圆的标准方程；
设
为椭圆的中线，点
，过点
的动直线
交椭圆于另一点
，直线
上的点满足
，求直线
与
的交点
的轨迹方程.
【回答】
【解析】
【分析】
（1）利用椭圆C：
的离心率为
，且经过点M（2，0），可求椭圆的几何量，从而可求椭圆方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求得B点坐标，结合
求出C的坐标，写出BD、OC的直线方程，利用消参法求轨迹.
【详解】
因为椭圆的离心率
，且
，所以
.
又
.故椭圆的标准方程为
.
设直线
的方程为
（当
存在时，由题意
），代入
，并整理得
.
解得
，于是
，即
.
设
，则
.
由已知得
，得
，解得
，于是
.
又
，
由
两点的坐标可得直线
的方程为
.
又由点
坐标可得直线
的方程为
.
两式相乘，消去参数
得
.（如果只求出交点
的坐标，此步不得分）
又当不存在时，
四点重合，此时
也满足题意.
故直线
与的交点的轨迹方程
.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线过定点，正确运用韦达定理是关键．
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
