已知椭圆的离心率为，过顶点的直线与椭圆相交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）若点在椭圆上且满足，求直线的斜率的...
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问题详情：
已知椭圆
的离心率为
，过顶点
的直线
与椭圆
相交于两点
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）若点
在椭圆上且满足
，求直线
的斜率
的值.
【回答】
解：(Ⅰ)因为e=
,b=1,所以a=2,
故椭圆方程为
..................................................... 4分
(Ⅱ)设l的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,n).
联立 
，解得 (1+4k2)x2+8kx=0, …………………………………………7分
因为直线l与椭圆C相交于两点，所以△=(8k)2>0,所以x1+x2=
，x1×x2=0，
∵
∴
点M在椭圆上，则m2+4n2=4,∴
,化简得
x1x2+4y1y2= x1x2+4(kx1+1)(kx2+1)= (1+4k2)x1x2+4k(x1+x2)+4=0, …………………10分
∴4k·(
)+4=0,解得k=±
.故直线l的斜率k=±
.…………………12分
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
