设椭圆的离心率为，且椭圆过点.过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于四点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若，探...
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问题详情：
设椭圆
的离心率为
，且椭圆过点
.过点
作两条相互垂直的直线
分别与椭圆
交于
四点.
（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
（Ⅱ）若
，探究：直线
是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.
【回答】
试题解析：（Ⅰ）由题意知，
，解得
，
故椭圆
的方程为
.
（Ⅱ）∵
，
，∴
、
分别为
、
的中点.
当两直线的斜率都存在且不为0时，设直线
的方程为
，
则直线
的方程为
，
，
，
，
，
联立
，得
，∴
，
∴
，
，∴
中点
的坐标为
；
同理，中点的坐标为
，∴
，
∴直线
的方程为
，
即
，∴直线
过定点
；
当两直线的斜率分别为0和不存在时，则直线的方程为
，也过点；
综上所述，直线过定点
.
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
