已知椭圆的左、右焦点分别为，且椭圆离心率为，过作轴的垂线与椭圆交于两点，且，动点在椭圆上．（I）求椭圆的标准方...

问题详情：

已知椭圆的左、右焦点分别为，且椭圆离心率为，过作轴的垂线与椭圆交于两点，且，动点在椭圆上．

（I）求椭圆的标准方程；

（II）记椭圆的左、右顶点分别为，且直线的斜率分别与直线（为坐标原点）的斜率相同，动点不与重合，试判断的面积是否为定值，并说明理由.

【回答】

（I）联立方程得解得，

故，即，又，，所以，

故椭圆C的标准方程为.

（II）由（I）知，，设，

则，

又，即，

所以，所以.

当直线的斜率不存在时，直线的斜率分别为或，

不妨设直线的方程是，由得或．

取，则，所以的面积为.

当直线的斜率存在时，设方程为．

由得．

因为在椭圆上，所以，解得．

设,,则，.

所以

．

设点到直线的距离为，则．

所以的面积为，①．

因为，

所以

由，得，②．

由①②，得．

综上所述，的面积为定值，该定值为．

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题