已知椭圆C：的离心率为，左焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）在轴上...
来源：语文精选馆 1.22W
问题详情：
已知椭圆C：
的离心率为
，左焦点为
，过点
且斜率为
的直线
交椭圆于A，B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）在
轴上，是否存在定点E，使
恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若
不存在，说明理由．
【回答】
（1）由已知可得
，解得
所求的椭圆方程为
……4分
（2）设过点D（0,2）且斜率为k的直线l的方程为y=kx+2,
由
消去y整理得：
设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=﹣
又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=﹣
，
y1+y2=（kx1+2）+（kx2+2）=k（x1+x2）+4= 
设存在点E（0，m），则
，
所以
=
=
……………8分
要使得 
（t为常数），
只要 
=t，从而（2m2﹣2﹣2t）k2+m2﹣4m+10﹣t=0
即
由（1）得 t=m2﹣1，代入（2）解得m=
，从而t=
，
故存在定点 
，使
恒为定值 
．……………12分
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
