已知椭圆C:的左焦点为F(﹣1,0),离心率为,过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(...
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已知椭圆C:的左焦点为F(﹣1,0),离心率为,过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.
【回答】
1;(Ⅱ)(,0)
【解析】
(Ⅰ)由题意可知:c=1,a2=b2﹣c2,e,由此求出椭圆的方程.(II)设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0),联立方程,得(1+2k2)x2+4k2x+2k2﹣2=0.由直线AB过椭圆的左焦点F,记A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点N(x0,y0),x1+x2,x0,垂直平分线NG的方程为y﹣y0,由此能求出点G横坐标的取值范围.
【详解】(Ⅰ)由题意可知:c=1,a2=b2﹣c2,e
解得:a,b=1
故椭圆的方程为:1
(II)设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0),
与椭圆联立,得(1+2k2)x2+4k2x+2k2﹣2=0
∵直线AB过椭圆的左焦点F∴方程有两个不等实根.
记A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点N(x0,y0)
则x1+x2
x0
垂直平分线NG的方程为y﹣y0,
令y=0,得xG=x0+ky0
.
∵k≠0,∴0
∴点G横坐标的取值范围为(,0).
点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系,韦达定理应用,解题时要注意合理地进行等价转化.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题