已知椭圆C：的离心率为，分别为椭圆的左、右顶点，点满足.(1)求椭圆的方程；(2)设直线经过点且与交于不同的两...
来源：语文精选馆 2.2W
问题详情：
已知椭圆C：
的离心率为
，
分别为椭圆
的左、右顶点，点
满足
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)设直线
经过点
且与
交于不同的两点
，试问：在x轴上是否存在点
,使得直线
与直线
的斜率的和为定值？若存在，求出点
的坐标及定值，若不存在，请说明理由.
【回答】
解：（1）依题意，
，P（2，-1），所以
=（-a-2,1）·(a-2,1)=5-a2,(2分)
由
=1，a>0,得a=2,因为e=
，所以c=
，b2=a2-c2=1，（4分）
故椭圆C的方程为
.（5分）
（2）假设存在满足条件的点Q（t，0），当直线l与x轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意，
因此直线l的斜率k存在，设l：y+1=k（x-2），
由
消y，得（1+4k2）x2-（16k2+8k）x+16k2+16k=0，（7分）
△=-64k>0,所以k<0,
设
，则x1+x2=
,x1x2=
,
因为
=
=
=
，（10分）
所以要使对任意满足条件的k，
为定值，则只有t=2，此时
=1.
故在x轴上存在点Q（2，0）使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值1.（12分）
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
