已知椭圆的左、右焦点分别为，且椭圆的离心率为，过作轴的垂线与椭圆交于两点，且，动点在椭圆上．（1）求椭圆的标准...

问题详情：

已知椭圆的左、右焦点分别为，且椭圆的离心率为，过作轴的垂线与椭圆交于两点，且，动点在椭圆上．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）记椭圆的左、右顶点分别为，且直线的斜率分别与直线（

为坐标原点）的斜率相同，动点不与重合，求的面积．

【回答】

【解析】（1）联立方程得解得，故，即，

又，，所以，（3分）

故椭圆C的标准方程为.（4分）

（2）由（1）知，，设，则，

又，即，所以，所以.

当直线的斜率不存在时，直线的斜率分别为或，

不妨设直线的方程是，由得，．

取，则，所以的面积为.（6分）

当直线的斜率存在时，设方程为．

由得．

因为在椭圆上，所以，解得．

设,,则，.（8分）

所以

．

设点到直线的距离为，则．

所以的面积为，①．（10分）

因为，

所以

由，得，②．

由①②，得．

综上所述，的面积为．（12分）

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题