已知椭圆的离心率，且椭圆过点.（I）求椭圆的标准方程；（II）已知点为椭圆的下顶点，为椭圆上与不重合的两点，若...

问题详情：

已知椭圆的离心率，且椭圆过点.

（I）求椭圆的标准方程；

（II）已知点为椭圆的下顶点，为椭圆上与不重合的两点，若直线与直线的斜率之和为，试判断是否存在定点，使得直线恒过点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

解析：（I）∵椭圆的离心率，∴，即，

∵点在椭圆上，∴，由解得，

∴椭圆的标准方程为．

（II）由（I）知，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

代入得，，∴，即．设，则，

∵直线与直线的斜率之和为，

∴  ，整理得，

∴直线的方程为，显然直线经过定点．

当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，

∵直线与直线的斜率之和为，设，则，

∴，解得 

此时直线的方程为，显然直线经过定点．

综上，存在定点，使得直线恒过点．

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题