已知椭圆的左,右焦点,,上顶点为,,为椭圆上任意一点,且的面积最大值为.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)若点.为...
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问题详情:
已知椭圆的左,右焦点,,上顶点为,,为椭圆上任意一点,且的面积最大值为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若点.为椭圆上的两个不同的动点,且(为坐标原点),则是否存在常数,使得点到直线的距离为定值?若存在,求出常数和这个定值;若不存在,请说明理由.
【回答】
【详解】(Ⅰ)由题得, ,解得 ,
椭圆的标准方程为.
(Ⅱ)设 ,,当直线AB的斜率存在时,
设其直线方程为:,
则原点到直线的距离为,
联立方程,
化简得,,
由得,
则,,
即对任意恒成立,
则 ,,
当直线斜率不存在时,也成立.
故当时,点到直线AB的距离为定值.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题