已知椭圆C:的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线与椭圆C交于A、B两点...
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问题详情：
已知椭圆C:
的离心率为
,短轴一个端点到右焦点的距离为
.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线
与椭圆C交于A、B两点，以
弦为直径的圆过坐标原点
，试探讨点
到直线
的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.
【回答】
解：（1）设椭圆的半焦距为
，依题意
， …………… 3分
所求椭圆方程为
．……………………………………………………… 4分
（2）设
，
．
①当
轴时，设
方程为：
，此时
两点关于
轴对称，
又以
为直径的圆过原点，设
代人椭圆方程得：
………………6分
②当
与
轴不垂直时，
设直线
的方程为
．联立
，
整理得
，
，
．…………………………………………………9分
又
。
由以
为直径的圆过原点，则有
。 即：
故满足：
得： 
…………………….10分
所以
=
。又点
到直线
的距离为：
。
综上所述：点
到直线
的距离为定值
。…………………………………………13分
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
