已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．(1)求椭圆的方程；(2)设，是椭圆上关于...

问题详情：

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．(1)求椭圆的方程；(2)设，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连接交椭圆于另一点，*直线与轴相交于定点；(3)在(2)的条件下，过点的直线与椭圆交于两点，求的取值范围．

【回答】

解：(1)由题意知，所以，即．……1分

又因为以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，

所以，所以．                            ……2分

故椭圆的方程为．                                    ……2分

(2)由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为．    ……3分

由得．                  ……4分

设点，，则,.……5分

依题意，直线的方程为.

令，得．                                  ……6分

将，代入，整理得

．

所以直线与轴相交于定点．                             ……7分

(3)当过点直线的斜率存在时，设直线的方程为．……8分

由得，易知．       ……9分

设，则，．

则.……10分

因为，所以,

所以．                                            ……11分

当过点直线的斜率不存在时，其方程为．

解得或,此时．

所以的取值范围是

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题