已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．（1）求椭圆的方程；（2）设点为椭圆上位于第一象限内一...
来源：语文精选馆 2.06W
问题详情：
已知椭圆
的离心率为
，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设点
为椭圆上位于第一象限内一动点，
分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线
与
轴交于点
，直线
与轴交于点
，求*：四边形
的面积为定值．
【回答】
（Ⅰ）
；（2）见解析.
【分析】
(1)根据题目所给的条件得到
解出参数值即可；（2）
分别设出直线AM和BM求出点B，D的坐标，并表示出AC，BD的长度，代入面积公式化简即可.
【详解】
（Ⅰ）由已知可得：
解得：
；
所以椭圆C的方程为：
．
（Ⅱ）因为椭圆C的方程为：
，所以
，
．
设
，则
，即
．
则直线BM的方程为：
，令
，得
；
同理：直线AM的方程为：
，令
，得
．
所以
．
即四边形ABCD的面积为定值2．
【点睛】
圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再*这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
