已知椭圆的离心率为，椭圆C的长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，是否存在实...
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问题详情：
已知椭圆
的离心率为
，椭圆C的长轴长为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线
与椭圆C交于A， B两点，是否存在实数k使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【回答】
（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得
，
解得
，所以
，
故所求椭圆C的方程为
．
（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．
理由如下：
设点
，
，
将直线
的方程
代入
，
并整理，得
．（*）
则
，
．
因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，
所以
，即
．
又
，
于是
，解得
，
经检验知：此时（*）式的Δ＞0，符合题意．
所以当
时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
