在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为．（1）求该椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆...
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问题详情：
在平面直角坐标系
中，已知椭圆
的焦距为2，离心率为
，椭圆的右顶点为
．
（1）求该椭圆的方程；
（2）过点
作直线
交椭圆于两个不同点
，
，求*：直线
，
的斜率之和为定值．
【回答】
（1）
；（2）*见解析.
【分析】
（1）由题意可知，椭圆
的焦点在
轴上，
，
，椭圆的离心率
，则
即可得解；
（2）设
，
，
，分类讨论，当斜率不存在时，不合题意，
当斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立，根据根与系数关系得到
关系，代入
斜率和公式，即可*结论.
【详解】
（1）由题意可知，椭圆
的焦点在
轴上，
，
，椭圆的离心率
，
则
，
，
则椭圆的标准方程
；
（2）*：设
，
，
，
当斜率不存在时，
与椭圆只有一个交点，不合题意，
由题意
的方程，
，
则联立方程
，
整理得，
，
，
由韦达定理可知
，
，
则
，
则由
，
，
∴直线
，
的斜率之和为定值
．
【点睛】
本题考查了利用根据离心率和焦点等基本量求椭圆方程，考查了直线和椭圆的联立以及利用韦达定理搭桥，联系各个量之间的关系，题型是直线和圆锥曲线的定值问题，思路相对明确，但要求交高的计算能力，属于较难题.
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
