在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且椭圆短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于.（1）求椭圆的方程；（2）设...
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问题详情：
在平面直角坐标系
中，已知椭圆
的离心率为
，且椭圆
短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）设经过点
的直线
交椭圆
于
，
两点，点
.
①若对任意直线
总存在点
，使得
，求实数
的取值范围；
②设点
为椭圆
的左焦点，若点
为
的外心，求实数
的值.
【回答】
【详解】解：（1）依题意
解得
所以
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）设直线的方程为
，
代入椭圆
的方程，消去
，得
.
因为直线
交椭圆
于两点，所以
，
解得
.
设
，
，则有
，
.
①设
中点为
，
则有
，
.
当
时，因为
，所以
，即
.
解得
.
当
时，可得
，符合
.
因此
.
由
，解得
.
②因为点
为
的外心，且
，所以
.
由
消去
，得
，所以
，也是此方程的两个根.
所以
，
.
又因为
，
，所以
，解得
.
所以
.
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
