已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的动直线与椭...

问题详情：

已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点的动直线与椭圆相交于两点．当△的面积最大时，求直线的方程．

【回答】

解： (1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.

又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为＋y2＝1.                        …… 4分

(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

将y＝kx－2代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.

当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，

|PQ|＝|x1－x2|＝.

点O到直线PQ的距离d＝.

所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝.设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.

因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0.

所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.            …… 12分

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题