已知椭圆C：的离心率为,椭圆C的长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：与椭圆C交于A,B两点,是...
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问题详情：
已知椭圆C：
的离心率为
,椭圆C的长轴长为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l：
与椭圆C交于A,B两点,是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在,求出k的值；若不存在,请说明理由．
【回答】
解：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得
， 解得
，所以b2=a2-c2=4-3=1， 故椭圆C的方程为
． （2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O． 理由如下： 设点A（x1，y1），B（x2，y2）， 将直线l的方程
代入
， 并整理，得
．（*） 则
，
． 因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O， 所以
，即x1x2+y1y2=0， 又
， 于是
，解得
， 经检验知：此时（*）式的
＞0，符合题意． 所以当
时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
