已知椭圆：（）的短轴长为2，离心率为，直线：与椭圆交于，两点，且线段的垂直平分线通过点.（1）求椭圆的标准方...
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问题详情：
已知椭圆
： 
（
）的短轴长为2，离心率为
，直线： 
与椭圆
交于
， 
两点，且线段
的垂直平分线通过点
.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）当
（
为坐标原点）面积取最大值时，求直线的方程.
【回答】
【*】（1）
（2）
或
或
【解析】试题分析：（1）由已知可得
解出即可（2）设
，
，联立方程
写出韦达定理，由
，
，
．求出表达式然后根据函数.....................
，
.求得面积最大值从而确定直线方程
试题解析：
（1）由已知可得
解得
，
，
故椭圆
的标准方程为
．
（2）设
，
，联立方程
消去
得
．
当
，即
时，
，
．
所以
，
．
当
时，线段
的垂直平分线显然过点
因为
,所以
，当
时，取到等号.
则:
当
时，因为线段
的垂直平分线过点
，
所以
，化简整理得
．
由
得
．
又原点
到直线
的距离为
．
所以
而
且
，则
，
.
所以当
，即
时，
取得最大值
．
综上
的最大值为
，
此时直线: 
或
或
点睛：先根据定义列出相关等式，求解方程即可，对于直线与椭圆的综合，要熟悉弦长公式，
，然后联立方程写出表达式，根据函数特征求出最值从而确定参数的值得出结果.在做此类题型时计算一定要认真仔细.
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
