已知椭圆：的离心率为，且与抛物线交于，两点，（为坐标原点）的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）如图，点为椭圆上...
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问题详情：
已知椭圆
：
的离心率为
，且与抛物线
交于
，
两点，
（
为坐标原点）的面积为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）如图，点
为椭圆上一动点（非长轴端点）
，
为左、右焦点，
的延长线与椭圆交于
点，
的延长线与椭圆交于
点，求
面积的最大值．
【回答】
【详解】（1）椭圆
与抛物线
交于
，
两点，
可设
，
，
∵
的面积为
，
∴
，解得
，∴
，
，
由已知得
，解得
，
，
，
∴椭圆
的方程为
.
（2）①当直线
的斜率不存在时，不妨取
，
，
，故
；
②当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
，
，
，
联立方程
，化简得
，
则
，
，
，
，
点
到直线
的距离
，
因为
是线段
的中点，所以点
到直线
的距离为
，
∴
∵
，又
，所以等号不成立.
∴
，
综上，
面积的最大值为
.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
