如图，椭圆：与圆：相切，并且椭圆上动点与圆上动点间距离最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的...
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问题详情：
如图，椭圆
：
与圆
：
相切，并且椭圆
上动点与圆
上动点间距离最大值为
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）过点
作两条互相垂直的直线
，
，
与
交于
两点，
与圆
的另一交点为
，求
面积的最大值，并求取得最大值时直线
的方程.
【回答】
【详解】（1）椭圆E与圆O：x2+y2＝1相切，知b2＝1；
又椭圆E上动点与圆O上动点间距离最大值为
，即椭圆中心O到椭圆最远距离为
，
得椭圆长半轴长
，即
；
所以椭圆E的方程：
（2）①当l1与x轴重合时，l2与圆相切，不合题意．
②当l1⊥x轴时，M（﹣1，0），l1：x＝1，
，此时
．…（6分）
③当l1的斜率存在且不为0时，设l1：x＝my+1，m≠0，则
，
设A（x1，y1），B（x2，y2），由
得，（2m2+3）y2+4my﹣1＝0，
所以
，
所以
．
由
得，
，解得
，
所以
，
所以
， 因为
，
所以
，
当且仅当
时取等号．所以
（
）
综上，△ABM面积的最大值为
，此时直线l1的方程为
． 
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
