已知数列的前n项和为，.（1）若，求数列的通项公式；（2）若数列是等差数列，，数列的前n项和为，是否存在，使得...
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问题详情：
已知数列
的前n项和为
，
.
（1）若
，求数列
的通项公式；
（2）若数列
是等差数列，
，数列
的前n项和为
，是否存在
，使得
？若存在，求出所有满足条件的n的值；若不存在，请说明理由.
【回答】
（1）
（2）存在；
【解析】
(1)利用数列的通项和前n项和之间的关系即可求出数列
的通项公式,要注意检验
时的情况；
(2)先根据数列
是等差数列求出a的值,再求出
,
,最后利用裂项相消法求数列
的前n项和
,进而判断是否存在
满足
,则问题获解.
【详解】
解：（1）当
时,
.
当
时,
；
当
时,
.
经检验,
不符合上式,
故数列
的通项公式
,
（2）当
时,
；
当
时,
.
因为数列
是等差数列,所以
,解得
,
因为
.
则
,
故
所以
.
令
,整理得
,所以
,
故存在
满足题意.
【点睛】
本题主要考查数列的通项和前n项和之间的关系,等差数列的判定,裂项相消法求和,考查考生的运算求解能力、逻辑思维能力.
试题结合等差数列、裂项相消法求和考查数列的有关知识,也考查考生的观察能力、恒等变形能力等,其中渗透了数学运算、逻辑推理等核心素养.
易错*示：在利用数列的通项和前n项和之间的关系求数列的通项公式时,很多考生会根据
直接求得结果,而忽略了此等式成立的前提是
,遗漏了对
的检验而出错,如本题第（1）问中
就不符合
的情况,因此需要将结果写成分段的形式.
知识点：数列
题型：解答题
