已知都是各项不为零的数列，且满足其中是数列的前项和，是公差为的等差数列．（1）若数列是常数列，，，求数列的通项...

问题详情：

已知都是各项不为零的数列，且满足其中是数列的前项和，是公差为的等差数列．

（1）若数列是常数列，，，求数列的通项公式；

（2）若是不为零的常数），求*：数列是等差数列；

（3）若（为常数，），．求*：对任意的恒成立．

【回答】

（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.

【分析】

(1)根据,可求得,再根据是常数列代入根据通项与前项和的关系求解即可.

(2)取,并结合通项与前项和的关系可求得再根据化简可得,代入化简即可知,再*也成立即可.

(3)由(2) 当时,,代入所给的条件化简可得,进而*可得,即数列是等比数列.继而求得,再根据作商法*即可.

【详解】

解：

．

是各项不为零的常数列,

则,

则由,

及得,

当时,,

两式作差,可得．

当时,满足上式,

则；

*：,

当时,,

两式相减得：

即．

即．

又,

,

即．

当时,,

两式相减得：．

数列从第二项起是公差为的等差数列．

又当时,由得,

当时,由,得．

故数列是公差为的等差数列；

*：由,当时,

,即,

,

,即,

即

,

当时,即．

故从第二项起数列是等比数列,

当时,．

．

另外,由已知条件可得,

又,

,

因而．

令,

则．

故对任意的恒成立．

【点睛】

本题主要考查了等差等比数列的综合运用,需要熟练运用通项与前项和的关系分析数列的递推公式继而求解通项公式或*等差数列等.同时也考查了数列中的不等式*等,需要根据题意分析数列为等比数列并求出通项,再利用作商法*.属于难题.

知识点：数列

题型：解答题