已知数列是首项为，公比的等比数列，设，数列满足.（1）求*：数列是等差数列；（2）求数列的前项和；（3）若对一...

问题详情：

已知数列是首项为，公比的等比数列，设，数列满足.

（1）求*：数列是等差数列；

（2）求数列的前项和；

（3）若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围.

【回答】

解:(1)*：由题意知，an＝n(n∈N＋)，

∵bn＝3logan－2，b1＝3loga1－2＝1，

∴bn＋1－bn＝3logan＋1－3logan＝3log＝3logq＝3，

∴数列{bn}是首项b1＝1，公差d＝3的等差数列．                    4分

(2)由(1)知，an＝n，bn＝3n－2(n∈N＋)，

∴cn＝(3n－2)×n(n∈N＋)，

∴Sn＝1×＋4×2＋7×3＋…＋(3n－5)×n－1＋(3n－2)×n；

于是Sn＝1×2＋4×3＋7×4＋…＋(3n－5)×n＋(3n－2)×n＋1，

                                                              6分

两式相减得

Sn＝＋3－(3n－2)×n＋1＝－(3n＋2)×n＋1.

∴Sn＝－×n＋1(n∈N＋)．                               8分

(3)∵cn＋1－cn＝(3n＋1)·n＋1－(3n－2)·n＝9(1－n)·n＋1(n∈N＋)，

∴当n＝1时，c2＝c1＝，

当n≥2时，cn＋1＜cn，即c1＝c2＞c3＞c4＞…＞cn，

∴当n＝1或2时，cn取得最大值是.                               10分

又cn≤m2＋m－1对一切正整数n恒成立，

∴m2＋m－1≥，

即m2＋4m－5≥0，解得m≥1或m≤－5.

故实数m的取值范围为{m|m≥1或m≤－5}．                     12分

知识点：数列

题型：解答题