如图,点A(1,)为椭圆+=1上一定点,过点A引两直线与椭圆分别交于B,C两点.(1)求椭圆方程;(2)若直线...
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如图,点A(1,)为椭圆+=1上一定点,过点A引两直线与椭圆分别交于B,C两点.
(1)求椭圆方程;
(2)若直线AB,AC与x轴围成的是以点A为顶点的等腰三角形.
①求直线BC的斜率;
②求△ABC的面积的最大值,并求出此时直线BC的方程.
【回答】
解 (1)把点A(1,)代入+=1得n=6,故椭圆方程为+=1. …………2分
(2)①显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x轴垂直.
因此其斜率必存在,设两腰的斜率分别为k1,k2,
消去y,得(3+k)x2+2k1(-k1)x+(-k1)2-6=0,
∴点B的横坐标为x=1- (x=1为点A的横坐标),
∴点B的纵坐标为y=-,
即 ………………6分
同理可得点C的坐标为C.
∵k1+k2=0,∴直线BC的斜率为kBC=. ………………8分
②设B(x1,y1),C(x2,y2),直线BC的方程为y=x+m,代入方程+=1得6x2+2mx+m2-6=0,
∴x1+x2=-m,x1x2=,
∴BC=·|x1-x2|=2·,
又点A到直线BC的距离为d=,
∴S△ABC=BC·d=
∴当m2=6,即m=或m=-时,△ABC面积取得最大值.
此时,直线BC的方程为y=x±. ………………16分
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题