如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB...

问题详情：

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

   （1）求*：PC是⊙O的切线；

   （2）求∠P的度数；

   （3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，AB=4，求线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积。

【回答】

解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO    

   ∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB            

   ∴∠A=∠ACO=∠PCB      ……………………………………………………1分

           ∵AB是⊙O的直径

   ∴∠ACO+∠OCB=90°        …………………………………………………2分

          ∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP     …………………………………………3分

  ∴PC是⊙O的切线          ………………………4分

        （2）∵PC=AC  ∴∠A=∠P

 ∴3∠P=90°                

         ∴∠P=30°            …………………………6分

(3) ∵点M是半圆O的中点   ∴∠BCM=45°………7分

 由（2）知∠BMC=∠A=∠P=30°∴BC=

作BD⊥CM于D，∴CD=BD=

∴CM=

∴S△BCM=

∵∠BOC=2∠A=60°   ∴弓形BmC的面积=

∴线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积为

（注：其它解法，请参照给分）

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题