如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC，切点是C，过点C作弦CD⊥AB于E，连...

问题详情：

如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC，切点是C，过点C作弦CD⊥AB于E，连接CO，CB．

（1）求*：PD是⊙O的切线；

（2）若AB＝10，tanB＝，求PA的长；

（3）试探究线段AB，OE，OP之间的数量关系，并说明理由．

【回答】

解：（1）*：连接OD，

∵PC是⊙O的切线，

∴∠PCO＝90°，即∠PCD+∠OCD＝90°，

∵OA⊥CD

∴CE＝DE

∴PC＝PD

∴∠PDC＝∠PCD

∵OC＝OD

∴∠ODC＝∠OCD，

∴∠PDC+∠ODC＝∠PCD+∠OCD＝90°，

∴PD是⊙O的切线．

（2）如图2，连接AC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴tanB＝＝

设AC＝m，BC＝2m，则由勾股定理得：m2+（2m）2＝102，解得：m＝，

AC＝2，BC＝4，

∵CE×AB＝AC×BC，即10CE＝2×4，

∴CE＝4，BE＝8，AE＝2

在Rt△OCE中，OE＝OA﹣AE＝3，OC＝5，

∴CE＝＝＝4，

∵

∴OP×OE＝OC×OC，即3OP＝5×5，

∴OP＝，PA＝OP﹣OA＝﹣5＝．

（3）AB2＝4OE•OP

如图2，∵PC切⊙O于C，

∴∠OCP＝∠OEC＝90°，

∴△OCE∽△OPC

∴，即OC2＝OE•OP

∵OC＝AB

∴

即AB2＝4OE•OP．

知识点：各地中考

题型：解答题