如图，CD是⊙O的直径，且CD＝2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，切点分别为A、...

问题详情：

如图，CD是⊙O的直径，且CD＝2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，切点分别为A、B．

（1）连接AC，若∠APO＝30°，试*△ACP是等腰三角形；

（2）填空：

①当的长为　   　cm时，四边形AOBD是菱形；

②当DP＝　   　cm时，四边形AOBP是正方形．

【回答】

解：（1）如图1，连接AO，

∵PA是⊙O的切线，

∴∠PAO＝90°，

∵∠APO＝30°，

∴∠AOP＝60°，

∵OA＝OC，

∴∠C＝∠CAO＝30°，

∴∠C＝∠APO，

∴△ACP是等腰三角形；

（2）如图2，①∵四边形AOBD是菱形，

∴AO＝AD，

∵AO＝OD，

∴△AOD是等边三角形，

∴∠AOD＝60°，

则∠AOB＝120°，

∴的长为：＝或＝

故*是：或；

②当四边形AOBP为正方形时，则有PA＝AO＝1cm，

∵PA为⊙O的切线，

∴PA2＝PD•PC，且CD＝2cm，

∴1＝PD（PD+2），整理可得PD2+2PD﹣1＝0，

解得PD＝﹣1或PD＝﹣﹣1（舍去），

∴PD＝﹣1（cm），

∴当PD＝（﹣1）cm时，四边形AOBP为正方形；

故*为：（﹣1）．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题