如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的...

问题详情：

如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与 OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F． （1）求*：PC是⊙O的切线； （2）若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长．

【回答】

解：（1）连接OC， ∵OD⊥AC，OD经过圆心O， ∴AD=CD， ∴PA=PC， 在△OAP和△OCP中， ∵， ∴△OAP≌△OCP（SSS）， ∴∠OCP=∠OAP ∵PA是⊙O的切线， ∴∠OAP=90°． ∴∠OCP=90°， 即OC⊥PC ∴PC是⊙O的切线． （2）∵OB=OC，∠OBC=60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠COB=60°， ∵AB=10， ∴OC=5， 由（1）知∠OCF=90°， ∴CF=OCtan∠COB=5． 【解析】

（1）连接OC，可以*得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的*质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可*得； （2）先*△OBC是等边三角形得∠COB=60°，再由（1）中所*切线可得∠OCF=90°，结合半径OC=5可得*． 本题考查了切线的*质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，*圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成*垂直的问题．

知识点：各地中考

题型：解答题