如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径,作OD⊥AB交AC于点D,延长BC,OD交于点F,过点C作⊙O的切线CE...
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如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径,作OD⊥AB交AC于点D,延长BC,OD交于点F,过点C作⊙O的切线CE,交OF于点E.
(1)求*:EC=ED;
(2)如果OA=4,EF=3,求弦AC的长.
【回答】
【分析】(1)连接OC,由切线的*质可*得∠ACE+∠A=90°,又∠CDE+∠A=90°,可得∠CDE=∠ACE,则结论得*;
(2)先根据勾股定理求出OE,OD,AD的长,*Rt△AOD∽Rt△ACB,得出比例线段即可求出AC的长.
【解答】(1)*:连接OC,
∵CE与⊙O相切,为C是⊙O的半径,
∴OC⊥CE,
∴∠OCA+∠ACE=90°,
∵OA=OC,
∴∠A=∠OCA,
∴∠ACE+∠A=90°,
∵OD⊥AB,
∴∠ODA+∠A=90°,
∵∠ODA=∠CDE,
∴∠CDE+∠A=90°,
∴∠CDE=∠ACE,
∴EC=ED;
(2)解:∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
在Rt△DCF中,∠DCE+∠ECF=90°,∠DCE=∠CDE,
∴∠CDE+∠ECF=90°,
∵∠CDE+∠F=90°,
∴∠ECF=∠F,
∴EC=EF,
∵EF=3,
∴EC=DE=3,
∴OE==5,
∴OD=OE﹣DE=2,
在Rt△OAD中,AD==2,
在Rt△AOD和Rt△ACB中,
∵∠A=∠A,∠ACB=∠AOD,
∴Rt△AOD∽Rt△ACB,
∴,
即,
∴AC=.
【点评】本题考查了切线的*质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与*质.
知识点:各地中考
题型:解答题