如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC相交于点D，过点D作DE⊥BC交AB延长线于点E，...

问题详情：

如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC相交于点D，过点D作DE⊥BC交AB延长线于点E，垂足为点F．

（1）*：DE是⊙O的切线；

（2）若BE＝4，∠E＝30°，求由、线段BE和线段DE所围成图形（*影部分）的面积，

（3）若⊙O的半径r＝5，sinA＝，求线段EF的长．

【回答】

解：（1）如图，连接，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BDA＝90°，

∵BA＝BC，

∴AD＝CD，

又∵AO＝OB，

∴OD∥BC，

∵DE⊥BC，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为x，则OB＝OD＝x，

在Rt△ODE中，OE＝4+x，∠E＝30°，

∴＝，

解得：x＝4，

∴DE＝4，S△ODE＝×4×4＝8，

S扇形ODB＝＝，

则S*影＝S△ODE﹣S扇形ODB＝8﹣；

（3）在Rt△ABD中，BD＝ABsinA＝10×＝2，

∵DE⊥BC，

∴Rt△DFB∽Rt△DCB，

∴＝，即＝，

∴BF＝2，

∵OD∥BC，

∴△EFB∽△EDO，

∴＝，即＝，

∴EB＝，

∴EF＝＝．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题