如图，⊙O的直径AB＝4，点C为⊙O上的一个动点，连接OC，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线交于点D，点E为...

问题详情：

如图，⊙O的直径AB＝4，点C为⊙O上的一个动点，连接OC，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线交于点D，点E为AD的中点，连接CE．

（1）求*：CE是⊙O的切线；

（2）填空：①当CE＝　   　时，四边形AOCE为正方形；

②当CE＝　   　时，△CDE为等边三角形．

【回答】

（1）*：连接AC、OE，如图（1），

∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°，

∴△ACD为直角三角形，

又∵E为AD的中点，

∴EA＝EC，

在△OCE和△OAE中，

，

∴△OCE≌△OAE（SSS），

∴∠OCE＝∠OAE＝90°，

∴CE⊥OC，

∴CE是⊙O的切线；

（2）解：①C在线段BD的中点时，四边形AOCE为正方形．理由如下：

当C为边BD的中点，而E为AD的中点，

∴CE为△BAD的中位线，

∴CE∥AB，CE＝AB＝OA，

∴四边形OAEC为平行四边形，

∵∠OAE＝90°，

∴平行四边形OCEA是矩形，

又∵OA＝OC，

∴矩形OCEA是正方形，

∴CE＝OA＝2，

故*为：2；

②连接AC，如图（2），

∵△CDE为等边三角形，

∴∠D＝60°，∠ABD＝30°，CE＝CD，

在Rt△ABC中，AC＝AB＝2，

在Rt△ACD中，∵tan∠D＝，

∴CD＝＝＝，

∴CE＝，

故*为：．

【点评】本题考查了圆的综合题：考查了圆周角定理、全等三角形的判定与*质、切线的判定定理、平行四边形的判定、正方形的判定、等边三角形的*质、三角函数等知识；本题综合*强，有一定难度．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题