如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，∠BCD=∠CA...

问题详情：

如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，∠BCD=∠CAB．E是⊙O上一点，弧CB=弧CE，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．

（1）求*：DC是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，sinD=，求线段AF的长．

【回答】

【考点】切线的判定；圆周角定理；解直角三角形．

【分析】（1）连接OC，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．根据等腰三角形的*质得到∠1=∠2．得到∠DCB+∠3=90°．于是得到结论；

（2）根据三角函数的定义得到OD=5，AD=8．根据圆周角定理得到∠2=∠4．推出OC∥AF．根据相似三角形的*质即可得到结论．

【解答】（1）*：连接OC，BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．

∵OA=OC，

∴∠1=∠2．

∵∠DCB=∠BAC=∠1．

∴∠DCB+∠3=90°．

∴OC⊥DF．

∴DF是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△OCD中，OC=3，sinD=．

∴OD=5，AD=8．

∵=，

∴∠2=∠4．

∴∠1=∠4．

∴OC∥AF．

∴△DOC∽△DAF．

∴．

∴AF=．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题