如图,△ABC内接于⊙O,BC为直径,∠BAC的平分线与BC和⊙O分别相交于D和E,P为CB延长线上一点,PB...
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问题详情:
如图,△ABC内接于⊙O,BC为直径,∠BAC的平分线与BC和⊙O分别相交于D和E,P为CB延长线上一点,PB=5,PA=10,且∠DAP=∠ADP.
(1)求*:PA与⊙O相切;
(2)求sin∠BAP的值;
(3)求AD•AE的值.
【回答】
【解析】(1)*:连接OA,如图1所示:
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∵∠DAP=∠BAD+∠PAB,∠ADP=∠CAD+∠C,∠DAP=∠ADP,
∴∠PAB=∠C,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠C=∠PAB,
∵BC为直径,
∴∠BAC=90°,即∠OAC+∠OAB=90°,
∴∠PAB+∠OAB=90°,即∠OAP=90°,
∴AP⊥OA,
∴PA与⊙O相切;
(2)解:∵∠P=∠P,∠PAB=∠C,
∴△PAB∽△PCA,
∴
∵∠CAB=90°,
∴
∴sin∠BAP=sin∠C=;
(3)解:连接CE,如图2所示:
∵PA与⊙O相切,
∴PA2=PB×PC,即102=5×PC,
∴PC=20,
∴BC=PC﹣PB=15,
∵
∴,
∵AE是∠BAC的角平分线,
∴∠BAD=∠CAE,
∵∠E=∠ABD,
∴△ACE∽△ADB,
∴
∴
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:综合题