如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=...
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如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=∠CAB.
(1)求*:直线BF是⊙O的切线;
(2)若AB=5,sin∠CBF=,求BC和BF的长.
【回答】
【解答】(1)*:连接AE,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∴∠1+∠2=90°.
∵AB=AC,
∴∠1=∠CAB.
∵∠CBF=∠CAB,
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径,
∴直线BF是⊙O的切线.
(2)解:过点C作CG⊥AB于G.
∵sin∠CBF=,∠1=∠CBF,
∴sin∠1=,
∵在Rt△AEB中,∠AEB=90°,AB=5,
∴BE=AB•sin∠1=,
∵AB=AC,∠AEB=90°,
∴BC=2BE=2,
在Rt△ABE中,由勾股定理得AE==2,
∴sin∠2===,cos∠2===,
在Rt△CBG中,可求得GC=4,GB=2,
∴AG=3,
∵GC∥BF,
∴△AGC∽△ABF,
∴
∴BF==
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题