如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E...

问题详情：

如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．

（1）求*：DE是⊙O的切线；

（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．

【回答】

解：（1）连接OD，如图：

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ADO，

∵AD平分∠CAB，

∴∠DAE＝∠OAD，

∴∠ADO＝∠DAE，

∴OD∥AE，

∵DE∥BC，

∴∠E＝90°，

∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，

∴DE是⊙O的切线；

（2）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵OF＝1，BF＝2，

∴OB＝3，

∴AF＝4，BA＝6．

∵DF⊥AB，

∴∠DFB＝90°，

∴∠ADB＝∠DFB，

又∵∠DBF＝∠ABD，

∴△DBF∽△ABD，

∴＝，

∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．

∴BD＝2．

【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的*质及角平分线的*质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出*；

（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后*△DBF∽△ABD，由相似三角形的*质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．

知识点：各地中考

题型：解答题