如图，已知AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，线段OP与弦AC垂直并相交于点D，OP与⊙O相交于点E，连接...

问题详情：

如图，已知AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，线段OP与弦AC垂直并相交于点D，OP与⊙O相交于点E，连接BC．

（1）求*：△PAD∽△ABC；

（2）若PA=10，AD=6，求AB和PE的长．

【回答】

【解答】（1）*：∵PA是⊙O的切线，AB是直径，

∴∠PAO=90°，∠C=90°，

∴∠PAC+∠BAC=90°，∠B+∠BAC=90°，

∴∠PAC=∠B，

又∵OP⊥AC，

∴∠ADP=∠C=90°，

∴△PAD∽△ABC；

（2）解：∵∠PAO=90°，PA=10，AD=6，

∴PD==8，

∵OD⊥AC，

∴AD=DC=6，

∴AC=12，

∵△PAD∽△ABC，

∴，

∴，

∴AB=15，

∴OE=AB=，

∵OP==，

∴PE=OP﹣OE=﹣=5．

【点评】此题考查了切线的*质，相似三角形的判定与*质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，熟练掌握*质及定理是解本题的关键．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：综合题