如图,PB为⊙O的切线,B为切点,直线PO交⊙O于点E、F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,交⊙O于点A,...
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问题详情:
如图,PB为⊙O的切线,B为切点,直线PO交⊙O于点E、F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,交⊙O于点A,延长AO与⊙O交于点C,连接BC,AF.
(1)求*:直线PA为⊙O的切线;
(2)求*:EF2=4OD·OP;
(3)若BC=6,tanF=,求AC的长.
【回答】
(1)*:如解图,连接OB,
第13题解图
∵PB是⊙O的切线,
∴∠PBO=90°,
∵OA=OB,BA⊥PO于点D,
∴AD=BD,
∴点D为AB的中点,即OP垂直平分AB,
∴∠APO=∠BPO,
∵∠ADP=∠BDP=90°,
∴△APD≌△BPD,
∴AP=BP,
在△PAO和△PBO中,
,
∴△PAO≌△PBO(SAS),
∴∠PAO=∠PBO=90°,
∵OA为⊙O的半径,
∴直线PA为⊙O的切线;
(2)*:∵∠PAO=∠PDA=90°,
∴∠OAD+∠AOD=90°,∠OPA+∠AOP=90°,
∴∠OAD=∠OPA,
∴△OAD∽△OPA,
∴=,即OA2=OD·OP,
又∵EF=2OA,
∴EF 2=4OD·OP;
(3)解:∵OA=OC,AD=BD,BC=6,
∴OD=BC=3,
设AD=x,
∴tanF===,
∴DF=2x,∴OA=OF=2x-3,
在Rt△AOD中,由勾股定理得
(2x-3)2=x2+32,解得x1=4或x2=0(不合题意,舍去),
∴OA=2x-3=5,
∵AC为⊙O的直径,
∴AC=2OA=10.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题