.如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA，AO，并延长AO交...

问题详情：

.如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA，AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D.

(1)求*：PA是⊙O的切线；

(2)若cos∠CAO＝，且OC＝6，求PB的长．

【回答】

（1）*：如解图，连接OB，

 第8题解图

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA，

∵OP⊥AB，

∴AC＝BC，

∴OP是AB的垂直平分线，

∴PA＝PB，

∴∠PAB＝∠PBA，

∴∠PAO＝∠PBO.

∵PB为⊙O的切线，

∴∠OBP＝90°，

∴∠PAO＝90°，

∵OA为⊙O的半径，

∴PA是⊙O的切线；

(2)解：∵cos∠CAO＝，

∴设AC＝4k，AO＝5k，由勾股定理可知OC＝3k，

∴sin∠CAO＝，tan∠COA＝，

∴＝，即＝，解得OA＝10，

∵tan∠POA＝tan∠COA＝＝，

∴＝，解得AP＝，

∵PA＝PB，

∴PB＝PA＝.

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题