如图，CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A...

问题详情：

如图，CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B．

（1）连接AC，若∠APO=30°，试*△ACP是等腰三角形；

（2）填空：

①当DP=　1　cm时，四边形AOBD是菱形；

②当DP=　﹣1　cm时，四边形AOBP是正方形．

【回答】

【分析】（1）利用切线的*质可得OC⊥PC．利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求得∠ACP=30°，从而求得．

（2）①要使四边形AOBD是菱形，则OA=AD=OD，所以∠AOP=60°，所以OP=2OA，DP=OD．

②要使四边形AOBP是正方形，则必须∠AOP=45°，OA=PA=1，则OP=，所以DP=OP﹣1．

【解答】解：（1）连接OA，AC

∵PA是⊙O的切线，

∴OA⊥PA，

在Rt△AOP中，∠AOP=90°﹣∠APO=90°﹣30°=60°，

∴∠ACP=30°，

∵∠APO=30°

∴∠ACP=∠APO，

∴AC=AP，

∴△ACP是等腰三角形．

（2）

①DP=1，理由如下：

∵四边形AOBD是菱形，

∴OA=AD=OD，

∴∠AOP=60°，

∴OP=2OA，DP=OD．

∴DP=1，

②DP=，理由如下：

∵四边形AOBP是正方形，

∴∠AOP=45°，

∵OA=PA=1，OP=，

∴DP=OP﹣1

∴DP=．

【点评】本题考查了切线的*质，圆周角的*质，熟练掌握圆的切线的*质和直角三角形的边角关系是解题的关键．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题