如图,C是⊙O上一点,点P在直径AB的延长线上,⊙O的半径为3,PB=2,PC=4.(1)求*:PC是⊙O的切...
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如图,C是⊙O上一点,点P在直径AB的延长线上,⊙O的半径为3,PB=2,PC=4.
(1)求*:PC是⊙O的切线.
(2)求tan∠CAB的值.
【回答】
(1)见解析;(2)tan∠CAB=.
【分析】
(1)可以*OC2+PC2=OP2得△OCP是直角三角形,即OC⊥PC,PC是⊙O的切线;
(2)AB是直径,得∠ACB=90°,通过角的关系可以*△PBC∽△PCA,进而,得出tan∠ACB=.
【详解】
(1)如图,连接OC、BC,
∵⊙O的半径为3,PB=2,
∴OC=OB=3,OP=OB+PB=5,
∵PC=4,
∴OC2+PC2=OP2,
∴△OCP是直角三角形,
∴OC⊥PC,
∴PC是⊙O的切线.
(2)∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ACO+∠OCB=90°.
∵OC⊥PC,
∴∠BCP+∠OCB=90°,
∴∠BCP=∠ACO.
∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO,
∴∠A=∠BCP.
在△PBC和△PCA中:
∠BCP=∠A,∠P=∠P,
∴△PBC∽△PCA,
∴===
∴tan∠CAB==
【点睛】
该题考查圆的相关知识和勾股定理逆定理、三角函数等内容,能*图中相似三角形是解决问题的关键.
知识点:相似三角形
题型:解答题