如图,C、D是以AB为直径的⊙O上的点,=,弦CD交AB于点E.(1)当PB是⊙O的切线时,求*:∠PBD=∠...
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如图,C、D是以AB为直径的⊙O上的点, =,弦CD交AB于点E.
(1)当PB是⊙O的切线时,求*:∠PBD=∠DAB;
(2)求*:BC2﹣CE2=CE•DE;
(3)已知OA=4,E是半径OA的中点,求线段DE的长.
【回答】
解:(1)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,即∠BAD+∠ABD=90°,
∵PB是⊙O的切线,
∴∠ABP=90°,即∠PBD+∠ABD=90°,
∴∠BAD=∠PBD;
(2)∵∠A=∠C、∠AED=∠CEB,
∴△ADE∽△CBE,
∴=,即DE•CE=AE•BE,
如图,连接OC,
设圆的半径为r,则OA=OB=OC=r,
则DE•CE=AE•BE=(OA﹣OE)(OB+OE)=r2﹣OE2,
∵=,
∴∠AOC=∠BOC=90°,
∴CE2=OE2+OC2=OE2+r2,BC2=BO2+CO2=2r2,
则BC2﹣CE2=2r2﹣(OE2+r2)=r2﹣OE2,
∴BC2﹣CE2=DE•CE;
(3)∵OA=4,
∴OB=OC=OA=4,
∴BC==4,
又∵E是半径OA的中点,
∴AE=OE=2,
则CE===2,
∵BC2﹣CE2=DE•CE,
∴(4)2﹣(2)2=DE•2,
解得:DE=.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题