如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥MN于点D．（1）求*：∠AB...
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问题详情：
如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥MN于点D．
（1）求*：∠ABC＝∠CBD；（2）若BC＝4
，CD＝4，则⊙O的半径是 ．
【回答】
（1）见解析；（2）5．
【分析】
（1）连接OC，由切线的*质可得OC⊥MN，即可*得OC∥BD，由平行线的*质和等腰三角形的*质可得∠CBD＝∠BCO＝∠ABC，即可*得结论；
（2）连接AC，由勾股定理求得BD，然后通过*得△ABC∽△CBD，求得直径AB，从而求得半径．
【详解】
（1）*：连接OC，
∵MN为⊙O的切线，
∴OC⊥MN，
∵BD⊥MN，
∴OC∥BD，
∴∠CBD＝∠BCO．
又∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC．；
（2）解：连接AC，
在Rt△BCD中，BC＝4
，CD＝4，
∴BD＝
＝8，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°，
∵∠ABC＝∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴
，即
，
∴AB＝10，
∴⊙O的半径是5，
故*为5．
【点睛】
本题考查了切线的*质和圆周角定理、三角形相似的判定和*质以及解直角三角形，作出辅助线构建等腰三角形、直角三角形是解题的关键．
知识点：点和圆、直线和圆的位置关系
题型：解答题
