如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．（...

问题详情：

如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．

（1）求*：MD=MC；

（2）若⊙O的半径为5，AC=4，求MC的长．

【回答】

【分析】（1）连接OC，利用切线的*质*即可；

（2）根据相似三角形的判定和*质以及勾股定理解答即可．

【解答】解：（1）连接OC，

∵CN为⊙O的切线，

∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°，

∵OM⊥AB，

∴∠OAC+∠ODA=90°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠ACM=∠ODA=∠CDM，

∴MD=MC；

（2）由题意可知AB=5×2=10，AC=4，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴BC=，

∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，

∴△AOD∽△ACB，

∴，即，

可得：OD=2.5，

设MC=MD=x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52，

解得：x=，

即MC=．

【点评】本题考查切线的判定和*质、相似三角形的判定和*质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题．

知识点：各地中考

题型：解答题