已知，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，连接CP．（1）如图1，若∠PCB＝∠A．①求*...
来源：语文精选馆 1.9W
问题详情：
已知，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，连接CP．
（1）如图1，若∠PCB＝∠A．
①求*：直线PC是⊙O的切线；
②若CP＝CA，OA＝2，求CP的长；
（2）如图2，若点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，MN•MC＝9，求BM的值．
【回答】
【解析】（1）①欲*PC是⊙O的切线，只要*OC⊥PC即可；
②想办法*∠P＝30°即可解决问题；
（2）如图2中，连接MA．由△AMC∽△NMA，可得
，由此即可解决问题；
解：①*如下：如图1中，
∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠PCB＝∠A，∴∠ACO＝∠PCB，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．
②∵CP＝CA，∴∠P＝∠A，∴∠COB＝2∠A＝2∠P，
∵∠OCP＝90°，∴∠P＝30°，∵OC＝OA＝2，∴OP＝2OC＝4，∴
．
（2）解：如图2中，连接MA．
∵点M是弧AB的中点，∴
＝
，∴∠ACM＝∠BAM，
∵∠AMC＝∠AMN，∴△AMC∽△NMA，∴
，∴AM2＝MC•MN，
∵MC•MN＝9，∴AM＝3，∴BM＝AM＝3．
知识点：点和圆、直线和圆的位置关系
题型：综合题
