如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点C的切线交AB的延长线于点F，    连接DF． ...

问题详情：

       如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点C的切线交AB的延长线于点F，     连接DF．

   （1）求*：DF是⊙O的切线；

   （2）连接BC，若∠BCF=30°，BF=2，求CD的长．

【回答】

解：（1）*：连接OD，如图，

            ∵CF是⊙O的切线，∴∠OCF=90°，

            ∴∠OCD+∠DCF=90°，∵直径AB⊥弦CD，

            ∴CE=ED，即OF为CD的垂直平分线，∴CF=DF，

            ∴∠CDF=∠DCF，∵OC=OD，∴∠CDO=∠OCD，

            ∴∠CDO+∠CDF=∠OCD+∠DCF=90°，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；

       （2）∵∠OCF=90°，∠BCF=30°，∴∠OCB=60°，∵OC=OB，∴△OCB为等边

            三角形，∴∠COB=60°，∴∠CFO=30°，∴FO=2OC=2OB，∴FB=OB=OC=2，

            在Rt△OCE中，∵∠COE=60°，∴OE=OC=1，∴CE=，

            ∴CD=2CE=2．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题