如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D；连接BD，过点D作直...

问题详情：

    如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC．

    （1）求*：直线DM是⊙O的切线；

    （2）求*：DE2＝DF·DA．

【回答】

    思路分析：（1）①连接DO，并延长交⊙O于点G，连接BG；②*∠BAD＝∠DAC；③*∠G＝∠BAD；④*∠MDB＝∠G；⑤*∠GDM＝90°；（2）①利用相似*BD2＝DF·DA；②利用等角对等边*DB＝DE．  

*：（1）如答图1，连接DO，并延长交⊙O于点G，连接BG；

∵点E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC．

∵∠G＝∠BAD，∴∠MDB＝∠G，

∵DG为⊙O的直径，∴∠GBD＝90°，∴∠G＋∠BDG＝90°．

∴∠MDB＋∠BDG＝90°．∴直线DM是⊙O的切线；

答图1  答图2

         （2）如答图2，连接BE．

           ∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD．

           ∵∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠CBD＝∠CAD．

           ∴∠EBD＝∠BED，∴DB＝DE．

           ∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB，∴BD2＝DF·DA．

           ∴DE2＝DF·DA．

知识点：各地中考

题型：综合题