如图,点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点,连接BP并延长交CD于点E,交AD的延长线于点F,⊙O是△DE...
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如图,点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点,连接BP并延长交CD于点E,交AD的延长线于点F,⊙O是△DEF的外接圆,连接DP.
(1)求*:DP是⊙O的切线;
(2)若tan∠PDC=,正方形ABCD的边长为4,求⊙O的半径和线段OP的长.
【回答】
(1)连接OD,
∵正方形ABCD中,CD=BC,CP=CP,∠DCP=∠BCP=45°,
∴△CDP≌△CBP(SAS),
∴∠CDP=∠CBP,
∵∠BCD=90°,
∴∠CBP+∠BEC=90°,
∵OD=OE,
∴∠ODE=∠OED,
∠OED=∠BEC,
∴∠BEC=∠OED=∠ODE,
∴∠CDP+∠ODE=90°,
∴∠ODP=90°,
∴DP是⊙O的切线;
(2)∵∠CDP=∠CBE,
∴tan,
∴CE=,
∴DE=2,
∵∠EDF=90°,
∴EF是⊙O的直径,
∴∠F+∠DEF=90°,
∴∠F=∠CDP,
在Rt△DEF中,,
∴DF=4,
∴==2,
∴,
∵∠F=∠PDE,∠DPE=∠FPD,
∴△DPE∽△FPD,
∴,
设PE=x,则PD=2x,
∴,
解得x=,
∴OP=OE+EP=.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题